Cálculo Fraccional Aplicado a Control Automático

Abstract

El cálculo fraccional, involucra conexamente el estudio de algunas funciones especiales como la de Mittag-Leffler que es una generalización de la exponencial, además suelen aparecer la función gamma de Euler, serie hipergeométrica y también los coeficientes binomiales, resultando en una mayor complejidad de calculo. Se puede demostrar que existen las transformadas de Fourier y Laplace de estos operadores y si bien resultan en expresiones con exponentes no enteros y con soluciones que involucran funciones especiales, nos permiten proyectarlo al estudio de los SLIT (Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo), para establecer equivalencias entre las EDO y las EDdF. Resultando como solución natural la ya mencionada función de Mittag-Leffler en lugar de la exponencial común. Las aplicaciones al control automático son realizaciones aproximadas, ya sea analógicas o digitales de estos operadores mediante la conversión de su transformada de Laplace al dominio discreto, resultando una función de transferencia discreta de dimensión infinita que mediante técnicas de Expansión Continuada en Fracciones (ECF) y posterior truncado resulta en buenas aproximaciones de forma IIR y de ordenes razonables para operar en tiempo real. Esto abre la posibilidad de ampliar a cinco los tres grados de libertad de los controladores PID convencionales al poder variar también los exponentes de los términos derivativo e integrador resultando superiores en prestaciones sobre todo ante sistemas no lineales y más robustos ante incertezas de modelado o variación de parámetros El caso de estudio presente consiste en la realización digital de un PID con derivador de orden fraccional por el método de Al-Alaoui, que ha demostrado ser una de las mejores aproximaciones posibles para aplicarlo a una planta no lineal con parámetros variables, manipulador robótico con carga variable en su extremo.